x, y, z

Поиск сообщений на форуме:

Поля поиска:

Запрос:
Номер автора:
Номер темы:
Номер форума:
Сортировать:
Сообщения: 193
|1|2|3|4|5|…|20| >>>
11 Янв 2018 17:26:23
Гипотеза Била за 1 миллион долларов << Математика
Evgeniy

Генниалин писал(а):
В тексте, Гипотеза Била.. есть предложение: ...ЧТО ПРОТИВОРЕЧИТ МИНИМАЛЬНОСТИ ВЫБОРА С. Нельзя ли поподробнее узнать что это такое на примере? С уважением Генниалин. почта: nilaineg1936@bk.ru
Если существуют натуральные числа $n > 2$ и $A$, $B$, $C$ такие, что $A^n+B^n=C^n$ и у чисел $A$, $B$, $C$ есть наибольший общий делитель $d>1$, то можно перейти к тройке $A/d$, $B/d$, $C/d$, которая также удовлетворяет уравнению Ферма $(A/d)^n+(B/d)^n=(C/d)^n$. Иначе говоря, если существует удовлетворяющая уравнению Ферма тройка $A$, $B$, $C$, тогда существует тройка $A'$, $B'$, $C'$, где $C'$ взаимно просто с $\operatorname{\text{НОД}}(A',B')$. Именно это означает минимальность $C'$.
3 Янв 2018 03:07:03
Когда x^5 = x? << Математика > Разбираемся и решаем > Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Когда x^5 = x?

Во многих книжках по занимательной математике, начиная с «Занимательной алгебры» Я. И. Перельмана и «Математических эссе и развлечений» У. Р. Болла, обсуждается задачка о числах, квадраты которых заканчиваются «на само число». Такие числа образуют цепочки: 52 = 25, 252 = 625, 6252 = 390625, 906252 = 8212890625 и т. д. Другая цепочка начинается с 6: 62 = 36, 762 = 5776, 3762 = 141376, 93762 = 87909376... Математики говорят, что квадратное уравнение x2 = x, кроме двух обычных корней 0 и 1, имеет еще два 10-адических корня U = ...890625 и 1 − U = ...109376, то есть каждая из приведенных выше цепочек соответствует одному 10-адическому числу — бесконечно продолжаемой влево последовательности цифр.

Замечание. Второе число не случайно обозначено 1 − U. Нетрудно убедиться, что сумма U + (1 − U) = ...890625 + ...109376 = ...000001 (последнее число — единица, перед которой записано бесконечно много нулей, — такое 10-адическое число вполне логично обозначить 1, что мы и сделали).

Наша задача посвящена другому 10-адическому уравнению — x5 = x. На обычном языке отыскание таких решений можно было бы сформулировать, например, так:

Назовем натуральное число удачным, если его пятая степень заканчивается на все цифры самого числа. Найдите все удачные натуральные числа.

Нетрудно понять, что удачными являются все однозначные числа, потому что пятая степень любого числа от 0 до 9 заканчивается на это число. Кроме того, нетрудно понять, что удачным будет число U: поскольку произведение его квадрата на него заканчивается на те же цифры, что и оно само, то отсюда выводится, что любая его степень заканчивается на них же.

Задача:

1) Найдите все двузначные удачные числа.

2) Докажите, что существует последовательность удачных чисел, заканчивающихся двойкой — V = ...186432, которую можно строить рекуррентно: v1 = 2, vn + 1 = vn5 (mod 10n+1).

3) Докажите, что все числа, образованные последними цифрами разности между U и (1 − U), то есть ...890625 − ...109376 = ...781249, являются удачными.

4) Докажите, что 10-адические числа U и V связаны соотношениями: UV = 0 (то есть произведение n-значных «хвостов» U и V заканчивается на n нулей) и U = 1 + V2. (из последнего равенства, в частности, следует возможность записать число 1 − U как −V2).

5) Докажите, что 10-адические удачные числа, заканчивающиеся на 7, равны V − U и V + U.





16 Сен 2017 21:56:46
Визуализация 15 алгоритмов сортировки за 6 минут << Информатика, компьютерные науки
Evgeniy

Визуализация 15 алгоритмов сортировки за 6 минут


Визуализация и аудиализация 15 алгоритмов сортировки за 6 минут. Сортируются случайные перетасовки целых чисел, причем скорость и количество элементов адаптированы к сложности каждого алгоритма. Алгоритмы: selection sort, insertion sort, quick sort, merge sort, heap sort, radix sort (LSD), radix sort (MSD), std::sort (intro sort), std::stable_sort (adaptive merge sort), shell sort, bubble sort, cocktail shaker sort, gnome sort, bitonic sort and bogo sort (30 seconds of it). Подробнее на http://panthema.net/2013/sound-of-sorting/
14 Авг 2017 16:33:19
Найдите все функции, которые удовлетворяют равенству. Задача ММО 2017 << Математика > Разбираемся и решаем > Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Найдите все функции, которые удовлетворяют равенству. Задача ММО 2017

Найдите все функции $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, которые при всех $x$ и $y$ удовлетворяют равенству

$f\big(f(x)f(y)\big)+f(x+y)=f(xy)$.

(Международная математическая олимпиада 2017).
14 Авг 2017 16:30:31
Сколькими способами можно замостить полосу 2×10 доминошками 2×1? << Математика > Разбираемся и решаем > Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Сколькими способами можно замостить полосу 2×10 доминошками 2×1?

Сколькими способами можно замостить полосу 2×10 доминошками 2×1? Замощения, получающиеся друг из друга вращением полосы, считаются разными; например, на рисунке изображено два разных замощения полоски 2×3.

Рис. 1. Два разных замощения полоски 2×3 доминошками 2×1
10 Апр 2017 15:22:20
Хроматическое число плоскости << Математика > Разбираемся и решаем > Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Хроматическое число плоскости

Можно ли раскрасить все точки плоскости
а) в 7 цветов,
б) в 3 цвета
так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 см были раскрашены в разные цвета?





Алексей Чернов
«Элементы»
1 Апр 2017 22:17:17
Задачка Кэрролла. Начертить граф, не отрывая карандаша от бумаги << Математика > Разбираемся и решаем > Занимательные задачи и головоломки
Evgeniy

Задачка Кэрролла. Начертить граф, не отрывая карандаша от бумаги

Знаете ли вы, что такое граф? Это такая наглядная геометрическая конструкция из точек (вершин) и соединяющих их линий (рёбер) вроде генеалогического древа или маршрута на карте. Некоторые графы можно нарисовать одним росчерком — не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждому ребру только один раз. Таким свойством обладает, например, граф в виде пятиконечной звезды. А чем он примечателен? Во-первых, этот граф связный: из любой вершины всегда можно перейти в другую по рёбрам. Во-вторых, из каждой вершины выходит чётное число рёбер.

Связный граф с пятью вершинами и пятью рёбрами. Его можно полностью обойти и вернуться в исходную точку.
Связный граф с пятью вершинами и пятью рёбрами. Его можно полностью обойти и вернуться в исходную точку.

Давно доказано, что всякий граф с такими свойствами можно нарисовать одним росчерком. При этом, начав движение из любой вершины, мы в итоге в неё же и вернёмся. А что будет, если отбросить последнее условие? Тогда можно допустить у графа наличие двух вершин, из которых выходит нечётное число рёбер. Ясно, что в этом случае обход фигуры следует начать из одной такой вершины, а закончить — в другой (например, одним росчерком на карте звёздного неба можно начертить ковш Большой Медведицы, соединив семь её наиболее ярких звёзд). Эти факты породили множество головоломок на вычерчивание замысловатых фигур. Одну из них придумал Льюис Кэрролл.

Фигура из трёх пересекающихся квадратов, нарисованная одним росчерком.
Фигура из трёх пересекающихся квадратов, нарисованная одним росчерком.

Взгляните на фигуру из трёх пересекающихся квадратов. Сможете ли вы нарисовать её, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя более одного раза по каждой линии?
25 Мар 2017 00:05:39
Найдет ли Трубадур принцессу в 17-комнатах? << Математика > Разбираемся и решаем > Олимпиадные и нестандартные задачи
Evgeniy

Найдет ли Трубадур принцессу в 17-комнатах?

Принцесса живёт в 17-комнатном дворце, который представляет собой прямоугольник 1×17. Каждая комната дворца — спальня принцессы. Соседние спальни сообщаются между собой, а кроме того, каждая спальня имеет окно. Если в окно спальни, где сейчас ночует принцесса, ровно в полночь постучится трубадур, то принцесса сбежит с ним, они поженятся и будут жить долго и счастливо. Однако король против, и бдительная стража заставляет принцессу каждый день ночевать в другой спальне — соседней с той, где она ночевала перед этим (причём, в какой именно, выбирают стражники, а не принцесса). Сможет ли трубадур достучаться до принцессы, если у него в запасе всего месяц?



11 Мар 2017 00:17:21
Функция Римана непрерывна во всех иррациональных и разрывна во всех рациональных точках << Математика > Разбираемся и решаем > Теоретические вопросы
Evgeniy

КисЯ писал(а):
там наверное q должно было быть рациональным числом
Да, это была опечатка. Спасибо за замечание.
20 Фев 2017 18:32:02
Теория чисел и обустройства России. Умер математик Игорь Шафаревич << Математика
Evgeniy

Теория чисел и обустройства России. Умер математик Игорь Шафаревич

Математик Игорь Шафаревич

В воскресенье, 19 февраля, на 94-м году жизни скончался знаменитый математик и общественный деятель Игорь Шафаревич. Его основные труды были посвящены алгебре и теории чисел, он считается основоположником советской школы алгебраической геометрии. Одновременно Игорь Шафаревич был ярким публицистом из консервативного лагеря, диссидентом и другом Александра Солженицына.

Игорь Ростиславович Шафаревич родился в 1923 году в Житомире, в семье университетского преподавателя теоретической механики. Довольно скоро семья переехала в Москву, где школьник Игорь Шафаревич увлекся математикой. «Математика меня поразила каким-то чувством необыкновенной красоты, довольно скрытной,— вспоминал он позже.— Один величайший математик написал даже на эту тему книгу: что в математике есть некая красота конструкции, которую если не почувствовать, то этого всего не усвоить. И это такое же эстетическое чувство как в музыке, рисовании». Уже в девятом классе Игорь Шафаревич написал свои первые работы по теории чисел. Ознакомившись с ними, математик Борис Делоне посоветовал мальчику поступать на мехмат МГУ. Закончив школу в 1940-м году, подросток сдал экзамены экстерном и был зачислен сразу на последний курс. В 17 лет он окончил МГУ, в 19 —защитил кандидатскую диссертацию, в 24 — докторскую. С 1944 года он начал преподавать на механико-математическом факультете МГУ, с 1946 года работал в Математическом институте имени В. А. Стеклова Академии наук СССР. «Я слушала лекции Игоря Ростиславовича по алгебре как студентка мехмата. Аудитория всегда была забита. Он всегда был ходячей легендой на мехмате»,— вспоминала президент Русского общественного фонда Александра Солженицына Наталия Солженицына. В 1958 году Игорь Шафаревич был избран членом-корреспондентом АН СССР, в следующем году получил Ленинскую премию по математике за открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи теории Галуа.

В 1955 году Игорь Шафаревич подписал «Письмо трехсот» — послание группы советских ученых в Президиум ЦК КПСС с критикой деятельности приверженцев идей Трофима Лысенко. Несколько лет спустя математик участвовал в создании общественного движения против переброски северных и сибирских рек. В конце шестидесятых Игорь Шафаревич делает публичные заявления в защиту верующих и православной церкви, помогает организовывать соответствующие пресс-конференции. Совместно с Андреем Сахаровым выступает против использования карательной психиатрии как средства политических преследований. В 1968 году подписал «письмо 99» в защиту насильственно помещенного в московскую психиатрическую больницу математика, диссидента Александра Есенина-Вольпина. В 1973 году написал открытое письмо в защиту Андрея Сахарова.

В те же годы, прочитав «Один день Ивана Денисовича», Игорь Шафаревич сближается с Александром Солженицыным. «Сначала мы решили издавать подпольный журнал. Журнал не состоялся. Авторов не хватало. Задумали альманах. Увы, статей набралось только на сборник. Его, мои, еще нескольких диссидентов»,— вспоминал математик. 12 февраля 1974 года он пришел к писателю с рукописями сборника. «Почти сразу — звонок в дверь. Вся прихожая заполнилась людьми в форме и в штатском. Солженицына уводят. Остался милиционер. Я мигом рукописи запихал в портфель, считая, что должен быть специальный ордер на мой личный обыск. Его жена заперлась в туалете, оттуда пошел запах гари. А милиционер стоял спокойно. Понимал, конечно, что жгут что-то компрометирующее. Но не вмешивался»,— рассказывал Игорь Шафаревич. В тот вечер Александр Солженицын был арестован, обвинен в измене Родине и лишен советского гражданства. 13 февраля он был выслан из СССР. К самолету его провожал Игорь Шафаревич, который через несколько дней написал открытые письма «Арест Солженицына» и «Изгнание Солженицына». «Истекают последние часы, отпущенные нашему государству на проверку: способно ли оно на “политику мира” — с Правдой. Есть ли у него другой ответ кроме насилия и жестокости,— не на взрыв и убийство президента, не на убийство судьи, даже не на демонстрацию — а на правду, сказанную великим писателем»,— говорилось там.

В том же году задуманный Солженицыным и Шафаревичем сборник «Из-под глыб» все-таки выходит — он печатается в Париже, а в СССР распространяется в самиздате. Математик написал для него три статьи — «Социализм», «Обособление или сближение?» и «Есть ли у России будущее». 14 ноября 1974 года Игорь Шафаревич дал в Москве пресс-конференцию для иностранных СМИ, посвященную сборнику. Он заявил об отсутствии свободы в СССР, высказался против социализма и марксизма. После этого математика уволили из МГУ.

В 1977 году во Франции вышла книга Игоря Шафаревича «Социализм как явление мировой истории», где автор сравнил социалистический строй с империями латиноамериканских индейцев. Примерно в то же время господин Шафаревич начал расходиться с либеральным крылом диссидентского движения и написал свою самую знаменитую книгу «Русофобия». В ней он опирается на теорию французского историка начала XX века Огюстена Кошена о «малом народе». Господин Кюшен утверждал, что небольшая часть «антинациональной элиты» навязала «большому народу» свои теории и спровоцировала Французскую революцию. По мнению Игоря Шафаревича, в русской революции также повинен «малый народ», значительную часть которого составляли евреи.

«Русофобия» вышла в самиздате в 1983 году, она была раскритикована большинством советских диссидентов, в том числе Андреем Сахаровым. Математика обвинили в антисемитизме. Совет Американского математического общества выступил с осуждением «антисемитских работ Игоря Шафаревича». Национальная академия наук США, у которой не существует процедуры исключения членов, обратилась к нему с просьбой добровольно покинуть организацию. Более 400 математиков опубликовали открытое обращение к Игорю Шафаревичу с просьбой пересмотреть изложенную в эссе позицию.

В декабре 1991 года господин Шафаревич был избран академиком РАН по секции математики, механики, информатики. С начала 1990-х Игорь Шафаревич стал участвовать в работе разнообразных патриотических организаций — Центральной думы Российского народного собрания, Фронта национального спасения, Конституционно-демократической партии, входил в редколлегию газеты «День». В итоге он принял решение сосредоточиться на литературной и публицистической работе. В 2003 году он подписал обращение деятелей науки и культуры «В связи с организацией кощунственной выставки в центре Сахарова», осуждающую выставку «Осторожно, религия!» В том же году он наконец вышел из Академии наук США, протестуя против войны в Ираке.

«Более двадцати лет Шафаревич и его интеллектуальные проявления оставались вне официального информационного поля. Зато все эти годы он был несомненным интеллектуальным лидером национально-патриотического движения. Шафаревич являл собой академический, аналитический ум, способный сформулировать мысли и чувства, которые патриотические массы несли в своем сердце, но не могли выразить в концептуально безупречной форме»,— заявил писатель Александр Проханов.

«Игорь Ростиславович Шафаревич — совершенно замечательный математик. Специалисты по теории чисел высоко ценят его ранние работы по закону взаимности и по обратной задаче теории Галуа,— рассказал “Ъ” доктор физико-математических наук, проректор по научной работе и профессор Независимого московского университета Михаил Цфасман.— В арифметике эллиптических кривых важнейшую роль играет группа Шафаревича—Тейта, на всех языках мира обозначаемая заглавной русской буквой Ш. В той же области лежит критерий хорошей редукции Нерона—Огга—Шафаревича». По словам господина Цфасмана, эти работы Игоря Шафаревича позволили другим математикам спустя сорок лет наконец доказать великую теорему Ферма. «Совместно с Евгением Соломоновичем Голодом он очень красиво решил задачу о бесконечности башни полей классов — сегодня мы называем их башнями Голода—Шафаревича,— сказал Михаил Цфасман.— Прекрасные работы по арифметике поверхностей типа К3 были сделаны в соавторстве с Ильей Иосифовичем Пятецким-Шапиро и Алексеем Николаевичем Рудаковым. Весьма интересны и, по-моему, не до конца поняты и оценены его работы с Пятецким-Шапиро по униформизации и про-пределам алгебраических многообразий». Господин Цфасман подчеркнул, что его поколение математиков училось по книгам Игоря Шафаревича «Основы алгебраической геометрии», «Теория чисел», «Дзета-функция». «Классификацию поверхностей мы знаем из трудов его семинара. Он очень ясно рассказывал и был отличным лектором. У него были замечательные ученики, в их числе и мой учитель Юрий Иванович Манин,— сказал Михаил Цфасман.— Можно смело назвать его создателем московской школы алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Царство небесное!»

«Это был один из наиболее выдающихся математиков нашего времени. Его работы являются классическими, они сразу вошли в сокровищницу науки,— заявил в понедельник президент РАН Владимир Фортов.— Важно еще и то, что этот человек был ярко выраженной гражданской позиции. Он имел свою нетривиальную точку зрения, часто несовпадающую с общепринятой, но он не скрывал своих взглядов и всегда был озабочен состоянием дел. Его предложения по улучшению и социальных вопросов, и нашей научной жизни всегда были очень важны и точны».

Александр Черных
«Коммерсантъ»
20.02.2017
|1|2|3|4|5|…|20| >>>